Der Boden sieht eigentlich ganz gut aus, ich würde eher nicht mehr durchfräsen. Damit lockerst du den Boden wieder auf, dann musst du wieder warten, bis er sich abgesenkt hat (2-3 Wochen idealerweise).
Steine und Wurzeln raussuchen ist sicher gut (auch wenn man auf dem Bild nichts davon sieht 🙂 ). Dann würde ich alles glatt rechen und schon mal düngen, ca. 1 Woche bevor du säst. Es gibt auch extra Starterdünger dafür.
Rasensamen und Dünger findest du in diversen Gartencentern oder Heimwerker-Discountern, auch online. Streuen würde ich das Saatgut mit einem Wagen, es wird gleichmässiger. Wenn du von Hand streust, kannst du für eine bessere Verteilung die Samen mit Sand oder trockener Erde mischen. Sehr hilfreich ist es, am Rand etwas mehr Rasen zu säen, meist dünnt der Rasen hier stark aus und es dauert, bis eine saubere Kante entsteht.
2 x täglich wässern ist gut, wenn es trocken ist, ich würde mich aber nach dem Wetter richten. Wichtig ist durchdringendes Wässern, bleibt er nur an der Oberfläche feucht, macht der Rasen nur kleine oberflächliche Wurzeln und schwächelt. Juni ist für die Ansaat ein wenig spät, umso wichtiger ist es, dass der Rasen gut verwurzeln kann.
Betreten solltest du den Rasen idealerweise erst, wenn du ihn das erste Mal mähst, also wenn er so 10cm hoch und möglichst dicht ist. Wenn sehr viel Unkraut wächst, muss es halt auch früher sein; umso wichtiger, dass sich der Boden schon vor der Saat gut abgesenkt hat. Insbesondere vor der Keimung sollten keine Löcher bzw. Wasserpfützen entstehen, sonst laufen die Samen da zusammen und wachsen als Bündel.
Zu den einzelnen Arbeitsschritten gibt es viele Beispiel online, zum Beispiel
hier.